Orta əsr riyaziyyatçısı Leonardo Fibonaççinin dovşanlar haqqında problemi

2024 Müəllif: Malcolm Clapton | [email protected]. Son dəyişdirildi: 2023-12-17 03:47

Gələn ilin əvvəlinə bir cüt heyvanın hansı nəslini verəcəyini hesablayın.

Leonardo Fibonaççi görkəmli orta əsr riyaziyyatçısı idi. Ehtimal olunur ki, ərəb rəqəmlərini istifadəyə verən məhz odur. Onluq hesabını izah edən və təbliğ edən bir əsər olan "Abacus Kitabı"nda Fibonaççi məşhur dovşan problemini verir. Bunu həll etməyə çalışın.

Yanvarın əvvəlində bir cüt yeni doğulmuş dovşan (erkək və dişi) hər tərəfdən hasarlanmış bir qələmə yerləşdirildi. Gələn ilin əvvəlinə qədər neçə cüt dovşan yetişdirəcəklər? Aşağıdakı şərtləri nəzərə almaq lazımdır:

• Dovşanlar doğuşdan iki ay sonra, yəni həyatın üçüncü ayının əvvəlində cinsi yetkinliyə çatırlar.
• Hər ayın əvvəlində cinsi cəhətdən yetkin olan hər bir cüt yalnız bir cüt doğur.
• Heyvanlar həmişə "bir dişi + bir erkək" cütlüyündə doğulurlar.
• Dovşanlar ölməzdir, yırtıcılar onları yeyə bilməz.

İlk altı ayda dovşanların sayının necə artdığını görək:

Ay 1. Bir cüt gənc dovşan.

Ay 2. Hələ bir orijinal cüt var. Dovşanlar hələ uşaqlıq yaşına çatmayıb.

Ay 3. İki cüt: doğuş yaşına çatmış orijinal + doğduğu bir cüt gənc dovşan.

Ay 4. Üç cüt: bir orijinal cüt + ayın əvvəlində doğurduğu bir cüt dovşan + üçüncü ayda doğulmuş, lakin hələ yetkinlik yaşına çatmamış bir cüt dovşan.

Ay 5. Beş cüt: bir orijinal cütlük + üçüncü ayda doğulan və uşaqlıq yaşına çatan bir cütlük + dünyaya gətirdikləri iki yeni cütlük + dördüncü ayda doğulmuş, lakin hələ yetkinlik yaşına çatmayan bir cüt.

Ay 6. Səkkiz cüt: keçən aydan beş cüt + üç yeni doğulmuş cütlük. və s.

Daha aydın olması üçün alınan məlumatları cədvələ yazaq:

Cədvəli diqqətlə araşdırsanız, aşağıdakı nümunəni müəyyən edə bilərsiniz. Hər dəfə n-ci ayda mövcud olan dovşanların sayı yeni doğulan dovşanların sayı ilə yekunlaşdırılaraq əvvəlki (n - 1)-ci aydakı dovşanların sayına bərabər olur. Onların sayı, öz növbəsində, (n - 2) ayda (iki ay əvvəl olan) heyvanların ümumi sayına bərabərdir. Buradan formula əldə edə bilərsiniz:

F = F_{n - 1}+ F_{n - 2}, harada F - n-ci ayda dovşan cütlərinin ümumi sayı, F_{n - 1} əvvəlki ayda dovşan cütlərinin ümumi sayıdır və F_{n - 2} - iki ay əvvəl dovşan cütlərinin ümumi sayı.

Bundan istifadə edərək növbəti aylarda heyvanların sayını hesablayaq:

Ay 7. 8 + 5 = 13.

Ay 8. 13 + 8 = 21.

Ay 9. 21 + 13 = 34.

Ay 10. 34 +21 = 55.

Ay 11. 55 + 34 = 89.

Ay 12. 89 + 55 = 144.

13-cü ay (gələn ilin əvvəli). 144 + 89 = 233.

13-cü ayın əvvəlində, yəni ilin sonunda 233 cüt dovşanımız olacaq. Onlardan 144-ü böyüklər, 89-u isə gənclər olacaq. Nəticədə 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ardıcıllığı Fibonaççi ədədləri adlanır. Burada hər yeni son nömrə əvvəlki iki ədədin cəminə bərabərdir.

Cavab göstər Cavab gizlət